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BS EN 61710:2013 Power law model. Goodness-of-fit tests and estimation methods, 2013
- 30284627-VOR.pdf [Go to Page]
- English [Go to Page]
- CONTENTS
- FOREWORD
- INTRODUCTION
- 1 Scope
- 2 Normative references
- 3 Terms and definitions
- 4 Symbols and abbreviations
- 5 Power law model
- 6 Data requirements [Go to Page]
- 6.1 General [Go to Page]
- 6.1.1 Case 1 – Time data for every relevant failure for one or more copies from the same population
- 6.1.2 Case 1a) – One repairable item
- 6.1.3 Case 1b) – Multiple items of the same kind of repairable item observed for the same length of time
- 6.1.4 Case 1c) – Multiple repairable items of the same kind observed for different lengths of time
- 6.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures for one or more repairable items from the same population
- 6.3 Case 3 – Time data for every relevant failure for more than one repairable item from different populations
- 7 Statistical estimation and test procedures [Go to Page]
- 7.1 Overview
- 7.2 Point estimation [Go to Page]
- 7.2.1 Case 1a) and 1b) – Time data for every relevant failure
- 7.2.2 Case 1c) – Time data for every relevant failure
- 7.2.3 Case 2 – Time data for groups of relevant failures
- 7.3 Goodness-of-fit tests [Go to Page]
- 7.3.1 Case 1 – Time data for every relevant failure
- 7.3.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures
- 7.4 Confidence intervals for the shape parameter [Go to Page]
- 7.4.1 Case 1 – Time data for every relevant failure
- 7.4.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures
- 7.5 Confidence intervals for the failure intensity [Go to Page]
- 7.5.1 Case 1 – Time data for every relevant failure
- 7.5.2 Case 2 – Time data for groups of relevant failures
- 7.6 Prediction intervals for the length of time to future failures of a single item [Go to Page]
- 7.6.1 Prediction interval for length of time to next failure for case 1 – Time data for every relevant failure
- 7.6.2 Prediction interval for length of time to Rth future failure for case 1 – Time data for every relevant failure
- 7.7 Test for the equality of the shape parameters β1,β 2, ..., β k [Go to Page]
- 7.7.1 Case 3 – Time data for every relevant failure for two items from different populations
- 7.7.2 Case 3 – Time data for every relevant failure for three or more items from different populations
- Annex A (informative) The power law model – Background information
- Annex B (informative) Numerical examples
- Annex C (informative) Bayesian estimation for the power law model
- Bibliography
- Figures [Go to Page]
- Figure 1 – One repairable item
- Figure 2 – Multiple items of the same kind of repairable item observed for same length of time
- Figure 3 – Multiple repairable items of the same kind observedfor different lengths of time
- Figure B.1 – Accumulated number of failures against accumulated timefor software system
- Figure B.2 – Expected against observed accumulated times to failurefor software system
- Figure B.3 – Accumulated number of failures against accumulated timefor five copies of a system
- Figure B.4 – Accumulated number of failures against accumulated time for an OEM product from vendors A and B
- Figure B.5 – Accumulated number of failures against time for generators
- Figure B.6 – Expected against observed accumulated number of failures for generators
- Figure C.1 – Plot of fitted Gamma prior (6,7956, 0,0448) for the shape parameter of the power law model
- Figure C.2 – Plot of fitted Gamma prior (17,756 6, 1447,408) for the expected number of failures parameter of the power law model
- Figure C.3 – Subjective distribution of number of failures
- Figure C.4 – Plot of the posterior probability distribution for the number of future failures, M
- Figure C.5 – Plot of the posterior cumulative distribution for the number of future failures, M
- Tables [Go to Page]
- Table 1 – Critical values for Cramer-von-Mises goodness-of-fit testat 10 % level of significance
- Table 2 – Fractiles of the Chi-square distribution
- Table 3 – Multipliers for two-sided 90 % confidence intervals for intensity function for time terminated data
- Table 4 – Multipliers for two-sided 90 % confidence intervals for intensity function for failure terminated data
- Table 5 – 0,95 fractiles of the F distribution
- Table B.1 – All relevant failures and accumulated times for software system
- Table B.2 – Calculation of expected accumulated times to failure for Figure B.2
- Table B.3 – Accumulated times for all relevant failuresfor five copies of a system (labelled A, B, C, D, E)
- Table B.4 – Combined accumulated times for multiple items of the same kind of a system
- Table B.5 – Accumulated operating hours to failure for OEM product from vendors A and B
- Table B.6 – Grouped failure data for generators
- Table B.7 – Calculation of expected numbers of failures for Figure B.6
- Table C.1 – Strengths and weakness of classical and Bayesian estimation
- Table C.2 – Grid for eliciting subjective distribution for shape parameter β
- Table C.3 – Grid for eliciting subjective distribution for expected number of failures parameter η
- Table C.4 – Comparison of fitted Gamma and subjective distributionfor shape parameter β
- Table C.5 – Comparison of fitted Gamma and subjective distribution for expected number of failures by time T = 20 000 h parameter η
- Table C.6 – Times to failure data collected on system test
- Table C.7 – Summary of estimates of power law model parameters
- Table C.8 – Time to failure data for operational system
- Français [Go to Page]
- SOMMAIRE
- AVANT-PROPOS
- INTRODUCTION
- 1 Domaine d'application
- 2 Références normatives
- 3 Termes et définitions
- 4 Symboles et abréviations
- 5 Modèle de loi en puissance
- 6 Exigences relatives aux données [Go to Page]
- 6.1 Généralités [Go to Page]
- 6.1.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour un ou plusieurs exemplaires de la même population
- 6.1.2 Cas 1a) – Une entité réparable
- 6.1.3 Cas 1b) – Entités multiples du même type d’entité réparable observées pendant la même durée
- 6.1.4 Cas 1c) – Entités réparables multiples du même type observées pendant des durées différentes
- 6.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre en compte pour une ou plusieurs entités réparables de la même population
- 6.3 Cas 3 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour plus d'une entité réparable de populations différentes
- 7 Estimation statistique et procédures d'essai [Go to Page]
- 7.1 Généralités
- 7.2 Estimation ponctuelle [Go to Page]
- 7.2.1 Cas 1a) et 1b) – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.2.2 Cas 1c) – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.2.3 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes de défaillances à prendre en compte
- 7.3 Essais d'adéquation [Go to Page]
- 7.3.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.3.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes des défaillances à prendre en compte
- 7.4 Intervalles de confiance pour le paramètre de forme [Go to Page]
- 7.4.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.4.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes des défaillances à prendre en compte
- 7.5 Intervalles de confiance pour l'intensité de défaillance [Go to Page]
- 7.5.1 Cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.5.2 Cas 2 – Données temporelles pour les groupes des défaillances à prendre en compte
- 7.6 Intervalles de prédiction pour les durées jusqu'aux défaillances futures d'une entité unique [Go to Page]
- 7.6.1 Intervalle de prédiction pour les durées jusqu'à la prochaine défaillance pour le cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.6.2 Intervalle de prédiction pour les durées jusqu'à la Rième défaillance future pour le cas 1 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte
- 7.7 Essai d’égalité des paramètres de forme β1,β 2, ..., β k [Go to Page]
- 7.7.1 Cas 3 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour deux entités de populations différentes
- 7.7.2 Cas 3 – Données temporelles pour chaque défaillance à prendre en compte pour plus de deux entités de populations différentes
- Annexe A (informative) Modèle de loi en puissance – Informations connexes
- Annexe B (informative) Exemples numériques
- Annexe C (informative) Estimation bayésienne pour le modèle de loi en puissance
- Bibliographie
- Figures [Go to Page]
- Figure 1 – Une entité réparable
- Figure 2 – Entités multiples du même type d’entité réparable observées pendant la même durée
- Figure 3 – Entités réparables multiples du même type observées pendant des durées différentes
- Figure B.1 – Nombre cumulé de défaillances en fonction du temps cumulépour les systèmes informatiques
- Figure B.2 – Temps cumulés attendus en fonction des temps cumulés observésjusqu'à la défaillance pour les systèmes informatiques
- Figure B.3 – Nombre cumulé de défaillances en fonctiondu temps cumulé pour cinq copies d'un système
- Figure B.4 – Nombre cumulé de défaillances en fonctiondu temps cumulé pour un produit OEM des vendeurs A et B
- Figure B.5 – Nombre cumulé de défaillances en fonction du temps pour les générateurs
- Figure B.6 – Nombre cumulé de défaillances en fonction du nombre de défaillances observées pour les générateurs
- Figure C.1 – Tracé de la distribution Gamma antérieure ajustée (6,7956, 0,0448) pour le paramètre de forme du modèle de loi en puissance
- Figure C.2 – Tracé de la distribution Gamma antérieure ajustée (17,756 6, 1447,408) pour le nombre attendu de paramètres de défaillance du modèle de loi en puissance
- Figure C.3 – Distribution subjective du nombre de défaillances
- Figure C.4 – Représentation de la distribution de probabilités postérieurepour le nombre de défaillances futures, M
- Figure C.5 – Représentation de la distribution cumulative postérieure pour le nombre de défaillances futures, M
- Tableaux [Go to Page]
- Tableau 1 – Valeurs critiques pour l’essai d'adéquation de Cramer-von-Mises avec un niveau de signification de 10 %
- Tableau 2 – Fractiles de la distribution de Khi-deux
- Tableau 3 – Multiplicateurs pour les intervalles de confiance bilatéraux à 90 %pour la fonction d'intensité dans le cas de données censurées par le temps
- Tableau 4 – Multiplicateurs pour les intervalles de confiance bilatéraux à 90 % pour la fonction d'intensité dans le cas de données censurées par une défaillance
- Tableau 5 – Fractiles 0,95 de la distribution F
- Tableau B.1 – Temps de défaillances à prendre en compte cumulés pour les systèmes informatiques
- Tableau B.2 – Calcul des temps attendus et cumulés de défaillance pour la Figure B.2
- Tableau B.3 – Temps cumulés pour toutes les défaillances à prendre en compte pour cinq copies d'un système (désignées par A, B, C, D, E)
- Tableau B.4 – Temps cumulés combinés pour des entités multiples de même type d’un système
- Tableau B.5 – Heures de fonctionnement cumulées jusqu'à la défaillance pour un produit OEM des vendeurs A et B
- Tableau B.6 – Données de défaillances groupées pour les générateurs
- Tableau B.7 – Calcul des nombres attendus de défaillances pour la Figure B.6
- Tableau C.1 – Forces et faiblesses comparées de l’estimation classique et de l’estimation bayésienne
- Tableau C.2 – Grille de représentation de la distribution subjective pour le paramètre de forme β
- Tableau C.3 – Grille de représentation de la distribution subjective pour le nombre attendu de paramètres de défaillance η
- Tableau C.4 – Comparaison des distributions Gamma ajustée et subjective pour le paramètre de forme β
- Tableau C.5 – Comparaison des distributions Gamma ajustée et subjective pour le nombre attendu de défaillances par rapport au temps T = 20 000 h paramètre η
- Tableau C.6 – Temps par rapport aux données de défaillances rassemblées pendant l’essai du système
- Tableau C.7 – Résumé des estimations des paramètres du modèle de loi en puissance
- Tableau C.8 – Données d’intervalle de défaillance pour un système opérationnel [Go to Page]